分式求导法则是一种用于处理两个函数相除的导数计算的方法，根据商法则，分式的导数公式如下： 对于函数 f(x)=u(x)v(x)f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}f(x)=v(x)u(x)，其中 u(x)u(x)u(x) 和 v(x)v(x)v(x) 是可导函数，并且 v(x)≠0v(x) \neq 0v(x)=0，分式的求导公式为： f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)[v(x)]2 f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2} f′(x)=[v(x)]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x) 分步解析： 分母平方：导数结果的分母是原分母函数的平方，即 ([v(x)]^2)。分子规则：分子是“分子的导数 × 分母 - 分子的原值 × 分母的导数”，即： u′(x)v(x)−u(x)v′(x) u'(x) v(x) - u(x) v'(x) u′(x)v(x)−u(x)v′(x) 示例： 假设 f(x)=x2+1x+2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2}f(x)=x+2x2+1，我们对其求导： u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1u(x)=x2+1，因此 u′(x)=2xu'(x) = 2xu′(x)=2xv(x)=x+2v(x) = x + 2v(x)=x+2，因此 v′(x)=1v'(x) = 1v′(x)=1 套用公式： f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)[v(x)]2 f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2} f′(x)=[v(x)]2u′(x)v(x)−u(x)v′(x) 计算分子： u′(x)v(x)−u(x)v′(x)=(2x)(x+2)−(x2+1)(1) u'(x) v(x) - u(x) v'(x) = (2x)(x + 2) - (x^2 + 1)(1) u′(x)v(x)−u(x)v′(x)=(2x)(x+2)−(x2+1)(1) 展开简化： =2x2+4x−x2−1=x2+4x−1 = 2x^2 + 4x - x^2 - 1 = x^2 + 4x - 1 =2x2+4x−x2−1=x2+4x−1 分母： [v(x)]2=(x+2)2 [v(x)]^2 = (x + 2)^2 [v(x)]2=(x+2)2 最终结果： f′(x)=x2+4x−1(x+2)2 f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{(x + 2)^2} f′(x)=(x+2)2x2+4x−1 分子为常数的负分数求导 我们从头讲解，并用详细步骤来帮助你理解「分子为常数的负分数求导」。 问题 如果一个分式的分子是常数，求导的形式和步骤是怎样的？ 公式回顾： 对于 f(x)=Cv(x)f(x) = \frac{C}{v(x)}f(x)=v(x)C（其中 CCC 是常数，v(x)v(x)v(x) 是分母），求导公式为： f′(x)=−C⋅v′(x)[v(x)]2 f'(x) = -\frac{C \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} f′(x)=−[v(x)]2C⋅v′(x) 解释： 分子是常数 CCC，求导时分子不变，只需对分母 v(x)v(x)v(x) 求导。符号变负：因为分母的倒数公式引入了负号。 示例 假设我们要对 f(x)=−3x2+1f(x) = \frac{-3}{x^2 + 1}f(x)=x2+1−3 求导。 第 1 步：确定分子和分母 分子 C=−3C = -3C=−3，是一个常数。分母 v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1v(x)=x2+1。 第 2 步：对分母 v(x)v(x)v(x) 求导 分母的导数公式：对 v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1v(x)=x2+1，其导数为： v′(x)=2x v'(x) = 2x v′(x)=2x 第 3 步：套用公式 根据公式： f′(x)=−C⋅v′(x)[v(x)]2 f'(x) = -\frac{C \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} f′(x)=−[v(x)]2C⋅v′(x) 将 C=−3C = -3C=−3、v′(x)=2xv'(x) = 2xv′(x)=2x、v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1v(x)=x2+1 代入： f′(x)=−(−3)⋅(2x)(x2+1)2 f'(x) = -\frac{(-3) \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} f′(x)=−(x2+1)2(−3)⋅(2x) 第 4 步：简化符号 分子中负号相乘： f′(x)=6x(x2+1)2 f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 1)^2} f′(x)=(x2+1)26x 最终答案 f′(x)=6x(x2+1)2 f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 1)^2} f′(x)=(x2+1)26x 总结关键点 分子为常数：直接把常数拿出来。分母求导：只需对分母求导，然后用公式。符号规则：记住公式里有负号。 分母求导 如何求分母的导数。我们来看一下： 导数的基本规则 求导时，我们用的是一些常见的求导规则，比如： 常数的导数：常数的导数是0。幂函数的导数：如果函数是 xnx^nxn，那么它的导数是 nxn−1nx^{n-1}nxn−1。和差法则：如果一个函数是两个函数的和（或差），那么它的导数是这两个函数的导数之和（或差）。乘法法则：如果函数是两个函数的乘积，那么我们用乘法法则求导。 在我们的例子中： 我们有分母 v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1v(x)=x2+1，要求导数。 第一步：将分母分开 可以把 x2+1x^2 + 1x2+1 分开，写作两项的和： v(x)=x2+1 v(x) = x^2 + 1 v(x)=x2+1 第二步：分别对每一项求导 x2x^2x2 的导数是 2x2x2x，根据 幂函数的导数规则 ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}dxd(xn)=nxn−1，这里 n=2n = 2n=2。111 是常数，常数的导数是 000。 因此： v′(x)=ddx(x2+1)=2x+0=2x v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x + 0 = 2x v′(x)=dxd(x2+1)=2x+0=2x 总结 对 v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1v(x)=x2+1 求导得到 v′(x)=2xv'(x) = 2xv′(x)=2x。 所以在我们的公式中，分母 v(x)=x2+1v(x) = x^2 + 1v(x)=x2+1 求导后是 v′(x)=2xv'(x) = 2xv′(x)=2x。 进一步举个例子： 如果分母是 v(x)=x3+5x−2v(x) = x^3 + 5x - 2v(x)=x3+5x−2，我们也按同样的步骤进行： v′(x)=3x2+5 v'(x) = 3x^2 + 5 v′(x)=3x2+5 幂函数的导数规则 幂函数的导数规则是求导时的一个基本法则。对于一个幂函数 f(x)=xnf(x) = x^nf(x)=xn，其中 nnn 是常数，导数的计算方法为： f′(x)=n⋅xn−1 f'(x) = n \cdot x^{n-1} f′(x)=n⋅xn−1 也就是说，对于一个幂函数 xnx^nxn，其导数是将指数 nnn 乘到前面，然后指数减一。 例子： f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3，则 f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2f′(x)=3x2f(x)=x−2f(x) = x^{-2}f(x)=x−2，则 f′(x)=−2x−3f'(x) = -2x^{-3}f′(x)=−2x−3f(x)=x1/2f(x) = x^{1/2}f(x)=x1/2，则 f′(x)=12x−1/2f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2}f′(x)=21x−1/2 这是基本的幂函数求导规则，适用于任何实数指数。