1963年，Lorenz发现了第一个混沌吸引子——Lorenz系统，从此揭开了混沌研究的序幕。 概念 在数学中，一个动力系统被称为自治的，当且仅当这个系统由一组常微分方程组成，并且这些方程的表达式与动力系统的自变量无关。在有关物理的动力系统中，自变量通常是时间。这时自治系统通常表示其中的物理规律不再随时间变化的系统，也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上来说，所有的动力系统都可以转化为自治系统。对于自治微分系统来说，要出现混沌现象，其维数必须要大于2.典型的一个例子就是Lorenz模型，它是由美国气象学家Lorenz在研究大气运动的时候，通过对对流模型简化，只保留三个变量提出的一个完全确定性的三阶自治常微分方程组，其方程形式如下： { d x d t = σ ( y − x ) d y d t = ρ x − y − x z d z d t = x y − β z {} \left\{ \begin{array}{lr} \frac{dx}{dt} =\sigma(y-x) \\ \frac{dy}{dt}=\rho x -y -xz \\ \frac{dz}{dt}=xy-\beta z \end{array} \right . {} ⎩⎨⎧dtdx=σ(y−x)dtdy=ρx−y−xzdtdz=xy−βz 其中，三个参数分别为： σ \sigma σ为普朗特数， ρ \rho ρ是瑞利数， β \beta β是方向比。 Lorenz模型已经成为混沌领域的经典模型，系统中三个参数的选择对系统会不会进入混沌状态起着重要的作用。 混沌图像 如图给出了Lorenz模型在 σ = 10 , ρ = 28 , β = 8 / 3 \sigma=10,\rho=28,\beta=8/3 σ=10,ρ=28,β=8/3时系统的三维演化轨迹。 由图可见，经过长时间运行后，系统只在三维空间的一个有限区域内运动，系统在此区域中的运动是混沌状态。我们从两个靠的很近的初值条件出发（zt只相差0.0001）给出了x(t)轨道的演化图如下 随着时间的演化，可以看到原本靠得很近的轨道迅速地分开，最后两条轨道变得毫无关联，这正是动力学系统对初值敏感性的直观表现，因此我们说此系统的这种状态为混沌态。 实验代码（python） import matplotlib.pyplot as plt #绘制三维图像 import mpl_toolkits.mplot3d as p3d ''' Lorenz吸引子生成函数 参数为三个初始坐标，三个初始参数,迭代次数 返回三个一维list ''' def Lorenz(x0,y0,z0,p,q,r,T): #微分迭代步长 h=0.01 x=[] y=[] z=[] for t in range(T): xt=x0+h*p*(y0-x0) yt=y0+h*(q*x0-y0-x0*z0) zt=z0+h*(x0*y0-r*z0) #x0、y0、z0统一更新 x0,y0,z0=xt,yt,zt x.append(x0) y.append(y0) z.append(z0) return x,y,z def main(): #设定参数 p=10 q=28 r=8/3 #迭代次数 T=10000 #设初值 x0=-16 y0=-21 z0=33 # fig=plt.figure() # ax=p3d.Axes3D(fig) x,y,z=Lorenz(x0,y0,z0,p,q,r,T) ax=plt.subplot(121,projection="3d") ax.scatter(x,y,z,s=5) ax.set_xlabel('x(t)') ax.set_ylabel('y(t)') ax.set_zlabel('z(t)') ax.set_title('x0=-16 y0=-21 z0=33') # plt.axis('off') #消除网格 ax.grid(False) #初值微小的变化 x0=-16 y0=-21 z0=33.00001 xx,yy,zz=Lorenz(x0,y0,z0,p,q,r,T) ax=plt.subplot(122,projection="3d") ax.scatter(xx,yy,zz,s=5) ax.set_xlabel('x(t)') ax.set_ylabel('y(t)') ax.set_zlabel('z(t)') ax.set_title('x0=-16 y0=-21 z0=33.00001') ax.grid(False) plt.show() t=np.arange(0,T) plt.scatter(t,x,s=1) plt.scatter(t,xx,s=1) plt.show() if __name__=='__main__': main() 扩展 吸引子是状态空间中的一个子集，从其中任意点出发的系统轨迹全都包括在其中。 参考 Lorenz混沌吸引子以及初始条件敏感性和不敏感性 几个混沌系统时间序列数据的Matlab程序